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수업시간에 이런 이야기를 들었다.
"1+1 = 2를 증명하기는 쉽지않다."
그 말이 기억 한 구석에 있을 때 서점에서 이 책을 읽고 궁금증이 해결되었다.
에디슨이 했던 말
발명왕 에디슨은
어린시절 선생님에게
"찰흙 한 덩이를 합치면 여전히 한 덩이이므로 1+1=1 일수도 있지 않을까요?" 라고 질문해서
선생님의 말문이 막혔다는 이야기가 있다.
하지만 '한 덩이' 라는 기준은 사람마다 기준이 달라지는 애매모호한 단위로 사실을 지적할수 있다고 한다.
1+1의 증명은 무척 어렵다?
1+1 =2 를 증명하는것이 소문이 난 이유중 하나는
버트런드 러셀(Bertrand Russell) 과 알프레드 화이트헤드(Alfred Whitehead)의 수학원리라는
책이 꼽힌다.
이 책은 아주 극혐 껄끄러운 기호들을 동원하여 1+1을 증명한다.
<수학원리 360쪽> 수학원리를 다 읽은 사람은 저자 두명과 수학자 쿠르트 괴델 뿐이라는 전설이..
하지만 이 증명은 기호 논리학에 대해 연구하다가 나온 증명으로 쓸데없이 기호가 많은 증명이다.
1+1을 증명하려면 자연수를 이해해야한다.
<주세페페아노>
예전에 한 드라마에서 수학 천재로 설정된 주인공이 페아노 공리계를 이용해서 1+1 = 2 를 증명한다는 말을 해서 화제가 된 적이 있다.
이 말은 1+1 = 2를 증명하기위해서는 먼저 식에 등장하는
1과 더하기 그리고 2라는 수를 명확히 하겠다는 말이다.
이는 본질적으로 자연수가 무엇이냐는 질문으로 이어지는데
자연수가 무엇인지를 알려주는 대표적인 공리계가 바로 페아노 공리계 이다.
페아노 공리계
1) 1은 자연수다.
2) n이 자연수면 n'(n의 후자)는 자연수다.
- 1' = 2, 2' = 3, 3' = 4 .. 이렇게 쓸수 있다.
3) n' = 1 인 자연수 n 은 없다.
4) m과 n 이 다르면 m'과 n'도 다르다.
- 3의 후자 4 와 4의 후자 5는 다르다.
5) 자연수의 부분집합 P에 대해 1∈P 이고, 모든 n∈P 에 대해 n'∈P 가 성립하면 P는 자연수 집합을 포함한다.
이 다섯가지 성질을 공리로 하여 자연수를 정의한 것을 '페아노 공리계' 라고 부른다.
(자연수를 0부터 시작하는 경우도 있지만 이 글에서는 1부터 시작한다)
덧셈은 무엇인가
*덧셈의 성질
1) m+1 = m'
-여기서 답은 나왔다. m=1 을 대입하면 1+1= 1' 이 된다. 이때 1'을 2라고 부르기로 하였으므로 1+1 = 2 일수밖에 없다.
2) m+n' = (m+n)'
-Ex) 4+3 은 뒤에 3이 2 다음 수, 즉 2' 이므로
4+3 = 4+2' = (4+2)'이다.
이것으로 우리는 1+1 = 2 뿐만 아니라 4+3 = 7 이라는 것도 증명할수 있다.
누군가가 1+1 = 2 의 증명에 대해서 이야기 한다면 이런 이야기를 해주는 것도 좋은 방법일듯 하다 ㅎ
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